1、一元一次方程根的情況

△=b2-4ac

當△0時，一元二次方程有2個不相等的實數根；

當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根；

當△0時，一元二次方程沒有實數根

2、平行四邊形的性質：

① 兩組對邊分别平行的四邊形叫做平行四邊形。

② 平行四邊形不相鄰的兩個頂點連成的線段叫他的對角線。

③ 平行四邊形的對邊/對角相等。

④平行四邊形的對角線互相平分。

菱形：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

②領心的四條邊相等，兩條對角線互相垂直平分，每一組對角線平分一組對角。

③判定條件：定義/對角線互相垂直的平行四邊形/四條邊都相等的四邊形。

矩形與正方形：

① 有一個内角是直角的平行四邊形叫做矩形。

② 矩形的對角線相等，四個角都是直角。

③ 對角線相等的平行四邊形是矩形。

④ 正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質。

⑤一組鄰邊相等的矩形是正方形。

多邊形：

①N邊形的内角和等于（N-2）180度

②多邊心内角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角，在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，他們的和叫做這個多邊形的内角和（都等于360度）

平均數：對于N個數X1，X2…XN，我們把（X1+X2+…+XN）/N叫做這個N個數的算術平均數，記為X

加權平均數：一組數據裡各個數據的重要程度未必相同，因而，在計算這組數據的平均數時往往給每個數據加一個權，這就是加權平均數。

二、基本定理

1、過兩點有且隻有一條直線

2、兩點之間線段最短

3、同角或等角的補角相等

4、同角或等角的餘角相等

5、過一點有且隻有一條直線和已知直線垂直

6、直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7、平行公理 經過直線外一點，有且隻有一條直線與這條直線平行

8、如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9、同位角相等，兩直線平行

10、内錯角相等，兩直線平行

11、同旁内角互補，兩直線平行

12、兩直線平行，同位角相等

13、兩直線平行，内錯角相等

14、兩直線平行，同旁内角互補

15、定理 三角形兩邊的和大于第三邊

16、推論 三角形兩邊的差小于第三邊

17、三角形内角和定理 三角形三個内角的和等于180°

18、推論1 直角三角形的兩個銳角互餘

19、推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個内角的和

20、推論3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的内角

21、全等三角形的對應邊、對應角相等

22、邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

23、角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的 兩個三角形全等

24、推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

25、邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應相等的兩個三角形全等

26、斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

27、定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28、定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29、角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30、等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角）

31、推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33、推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）

35、推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形

36、推論 2 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37、在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那麼它所對的直角邊等于斜邊的一半

38、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39、定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40、逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41、線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42、定理1 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43、定理 2 如果兩個圖形關于某直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44、定理3 兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上

45、逆定理 如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關于這條直線對稱

46、勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2

47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關系a2+b2=c2，那麼這個三角形是直角三角形

48、定理 四邊形的内角和等于360°

49、四邊形的外角和等于360°

50、多邊形内角和定理 n邊形的内角的和等于（n-2）×180°

51、推論 任意多邊的外角和等于360°

52、平行四邊形性質定理1 平行四邊形的對角相等

53、平行四邊形性質定理2 平行四邊形的對邊相等

54、推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等

55、平行四邊形性質定理3 平行四邊形的對角線互相平分

56、平行四邊形判定定理1 兩組對角分别相等的四邊形是平行四邊形

57、平行四邊形判定定理2 兩組對邊分别相等的四邊 形是平行四邊形

58、平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59、平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60、矩形性質定理1 矩形的四個角都是直角

61、矩形性質定理2 矩形的對角線相等

62、矩形判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形

63、矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形

64、菱形性質定理1 菱形的四條邊都相等

65、菱形性質定理2 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66、菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2

67、菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形

68、菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69、正方形性質定理1 正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70、正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

71、定理1 關于中心對稱的兩個圖形是全等的

72、定理2 關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分

73、逆定理 如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那麼這兩個圖形關于這一點對稱

74、等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75、等腰梯形的兩條對角線相等

76、等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯 形是等腰梯形

77、對角線相等的梯形是等腰梯形

78、平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等

79、推論1 經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80、推論2 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81、三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82、梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h

83、(1)比例的基本性質：

如果a:b=c:d,那麼ad=bc

如果 ad=bc ,那麼a:b=c:d

84、(2)合比性質：

如果a／b=c／d,那麼(a±b)／b=(c±d)／d

85、(3)等比性質：

如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),

那麼(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86、平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例

87、推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例

88、定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那麼這條直線平行于三角形的第三邊

89、平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線， 所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例

90、定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似

91、相似三角形判定定理1 兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）

92、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93、判定定理2 兩對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）

94、判定定理3 三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）

95、定理 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似

96、性質定理1 相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比

97、性質定理2 相似三角形周長的比等于相似比

98、性質定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方

99、任意銳角的正弦值等于它的餘角的餘弦值，任意銳角的餘弦值等于它的餘角的正弦值

100、任意銳角的正切值等于它的餘角的餘切值，任意銳角的餘切值等于它的餘角的正切值

101、圓是定點的距離等于定長的點的集合

102、圓的内部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104、同圓或等圓的半徑相等

105、到定點的距離等于定長的點的軌迹，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

106、和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌迹，是着條線段的垂直平分線

107、到已知角的兩邊距離相等的點的軌迹，是這個角的平分線

108、到兩條平行線距離相等的點的軌迹，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

109、定理 不在同一直線上的三點确定一個圓。

110、垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111、推論1

①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

112、推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113、圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114、定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

115、推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那麼它們所對應的其餘各組量都相等

116、定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117、推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

118、推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑

119、推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形

120、定理 圓的内接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的内對角

121、①直線L和⊙O相交 d﹤r

②直線L和⊙O相切 d=r

③直線L和⊙O相離 d﹥r

122、切線的判定定理 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123、切線的性質定理 圓的切線垂直于經過切點的半徑

124、推論1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點

125、推論2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

126、切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

127、圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128、弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129、推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那麼這兩個弦切角也相等

130、相交弦定理 圓内的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

131、推論 如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

132、切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項

133、推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條 割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

134、如果兩個圓相切，那麼切點一定在連心線上

135、①兩圓外離 d﹥R+r

②兩圓外切 d=R+r

③兩圓相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

④兩圓内切 d=R-r(R﹥r)

⑤兩圓内含 d﹤R-r(R﹥r)

136、定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137、定理 把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的内接正n邊形

⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

138、定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個内切圓，這兩個圓是同心圓

139、正n邊形的每個内角都等于（n-2）×180°／n

140、定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

141、正n邊形的面積Sn=pnrn／2 p表示正n邊形的周長

142、正三角形面積√3a／4 a表示邊長

143、如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4

144、弧長計算公式：L=n兀R／180

145、扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

146、内公切線長= d-(R-r) 外公切線長= d-(R+r)

三、常用數學公式

公式分類 公式表達式

乘法與因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a

-b-√(b2-4ac)/2a

根與系數的關系 X1+X2=-b/a

X1*X2=c/a 注：韋達定理

某些數列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注：其中 R 表示三角形的外接圓半徑

餘弦定理 b2=a2+c2-2accosB

注：角B是邊a和邊c的夾角

初中幾何常見輔助線作法歌訣彙編

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可将圖對折看，對稱以後關系現。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

平行四邊形出現，對稱中心等分點。

梯形裡面作高線，平移一腰試試看。

平行移動對角線，補成三角形常見。

證相似，比線段，添線平行成習慣。

等積式子比例換，尋找線段很關鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項一大片。

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。

圓上若有一切線，切點圓心半徑連。

切線長度的計算，勾股定理最方便。

要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個内接圓，内角平分線夢圓。

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。

内外相切的兩圓，經過切點公切線。

若是添上連心線，切點肯定在上面。

要作等角添個圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。

基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。