厄米對稱()存在于大部分的量子理論之中，但它卻不是必要的。如果放棄這個對稱性，系統将出現奇妙的物理現象和有趣的應用。

薛丁格方程式是量子力學的核心，方程式裡面主要由兩個部分組成：哈密頓算符()和波函數。哈密頓算符決定于系統環境，而波函數包含所有關于量子态有用的資訊。對于一個特定的系統，我們把系統特性寫進哈密頓算符中，薛丁格方程式就會告訴我們這個系統中的波函數長什麼樣子。

通常，物理學家會要求哈密頓算符滿足一些基本的數學條件，以滿足大自然中對稱性，例如;量子态的能量是實數、粒子數和能量守恒等。這些基本的數學條件被稱做厄米對稱性()[注1]，幾乎所有的基礎量子理論都建立在哈密頓算符是厄米對稱的前提下。本篇文章介紹如果不要求厄米對稱，量子理論會出現的奇異現象和有趣應用。

●獨特點( Point， EP)

在非厄米系統中，最奇異的特性是“獨特點”的存在 [注2]。一般的量子系統中，不同的量子态處于相同的能量是一件極為普通的事情，例如：苯環的共振結構。盡管能量相同，苯環的共振确确實實是由“兩個”量子态組成。但在獨特點上，多個量子态除了具有相同的能量，它們融合成為“一個”量子态。

圖一、随着系統環境變化，量子态的能量也跟着改變。圖中紅色和藍色分别是兩個不同的量子态。(左)在厄米系統中，能量的改變非常平滑。(右)在非厄米系統中存在“獨特點”，在這個點上面，紅色和藍色兩個不同的量子态融合成一個量子态。在這個點附近，能量的變化非常複雜劇烈。

圖一是量子态在厄米系統和非厄米系統的結構，厄米系統随環境變化非常的平整緩慢。而非厄米系統，在特定的系統參數下(綠色箭頭)量子态糾結成一團、并且融合。物理學家提出很多理論，描述獨特點在電子結構中潛在的應用。但是電子這樣的費米子()必須要滿足實數能量和粒子數守恒，難以應用在非厄米系統中。相較之下，光子是一個波色子(boson)，它能任意地被産生或是消滅，也可以有虛數能量 [注3]，是實現厄米系統非常好的候選人。以下來看一些“獨特點”的應用。

●量子态切換器

量子态的能量随系統環境變化，在獨特點上，兩個量子态融合成一個(圖一右的綠色箭頭處)。而在獨特點附近，量子态的變化非常奇異。如果我們設計一個實驗，控制系統中兩個參數，使系統環境在參數空間内走圖二A的封閉路徑，量子态會走如圖二B所示的路徑(白色箭頭)，它會回到原來的狀态。但如果像圖二C那樣包含一個獨特點(EP)的封閉路徑，量子态會從紅色的變成藍色的。科學家發現，如果包含獨特點封閉路徑是逆時針的，量子态都會變成藍色的，而順時針都會變成紅色的。

圖二、通常在實驗中，我們可以透過許多參數來控制一個系統，在此假設我們有2個參數。(A)參數的變化是一個封閉路徑，但不包含獨特點(EP)。(B)在不包含獨特點(圖中綠色X)的情況下，A中的封閉路徑會讓量子态回到原狀。(C) 參數的變化是一個封閉路徑，并且包含獨特點(EP)。(D)如果路徑包含獨特點，量子态不會回到原處，而是變成另外一個量子态。

如果你發現上述的理論細節很難理解，來看看實際應用。科學家設計一種材料，材料内不同位置有不同的性質。當光子從左邊穿越材料到右邊時，光子就像是經曆了圖二C和D中的逆時針過程;從右邊到左邊，則是順時針過程。如圖三所示，無論是光子本來處于紅色或藍色的量子态，向右傳輸後，所有的光子都跑到了藍色量子态(圖三A)。相反地，向左傳輸，光子都跑到紅色量子态(圖三B)。這個現象除了反直覺又很酷之外，在單一元件内達到兩種量子态的控制切換，對光電路也有很大的應用。

圖三、材料内特性的變化被設計成圖二中C， D的路徑。(A)無論起始狀态是什麼，如果光子向右傳輸，它會落于藍色量子态。(B)反之會到紅色量子态。

●高敏度偵測器

上面曾經提到在獨特點附近量子态的能量變化非常劇烈，科學家将這個特性應用在偵測器中。系統受到外界幹擾時(例如有原子或分子經過)，系統環境會出現變化，這個變化也會反應在量子态的能量中。但通常這個變化非常微小，難以被測量。但在一個非厄米系統中，獨特點對參數變化非常敏感。如圖四B所示，微小的擾動(橫軸橘色雙箭頭)，對厄米系統來說是微不足道(縱軸灰色雙箭頭)，但在非厄米系統中卻造成非常大的反應(縱軸橘色雙箭頭)。

透過這個原理制造的感應器非常靈敏。這樣的裝置靠的是對底層物理的了解加上材料的設計，結構相對簡單。也因為不須要複雜的機構，它在納米尺度下的電路應用非常有潛力。

圖四、(A)外界擾動就像是某種參數變化，當受到擾動時，量子态的能量會産生變化。透過這個能量變化，科學家能反過來偵測外界擾動的大小。(B)非厄米系統中的獨特點對外界壤動的靈敏度極高。小小的幹擾就能産生很大的能量變化。

附注：

[注1] 厄米對稱指的是在共轭()和轉置()運算下守恒。

[注2] 英文為 point，筆者譯為“獨特點”，也可以翻譯為“優越點”、“例外點”等。

[注3] 光子理論中，實數能量代表光的頻率，虛數能量代表光子被吸收或耗散的速率。

參考資料：

et al.， at -order ， 548， 187 (2017)

Chen et al.， in an ， 548， 192 (2017)

Jrg et al.， an point for mode ， 537， 76 (2016)

H. Xu et al.， in an with ， 537， 80 (2016)