实变函数与泛函分析期末试题回忆

前面大概十来个判断题,然后是解答题若干（暂时就不写解答啦，题目比较简单，留给读者自行思考）

由外测度定义证明: 中集合

的外测度为零,其中 4 个有限常数 满足 .

下面两个也考了其中一个

设 以及 都是 的子集, 均为可测集,并且 ,证明 是可测集.

设 ,设 为可测集合 列, 并且 证明 可测.

还考了一个勒贝格控制收敛定理

证明

(提示: 被积函数几乎处处收敛)

证明: 令 ,则除去 (是一个零测度集合) 外, 在 上处处收敛于零,从而 在 上几乎处处收敛于零。又因为 a. e. 于 ,故由控制收敛定理可得 。

六、 证明连续函数空间 的子空间:

是完备的子空间. 其中 是一取定函数.

证明：因为 完备,所以只需证 是闭子空间. 为此,设 中函数列 按照范数收敛于 . 来证 . 有以下两种证法:

证法 1: 因为连续函数空间中按照范数收敛等价于一致收敛，且显然函数列 一致收敛于 ,注意到对一切 成立 ,于 是有

于是有 .

证法 2: 注意到对一切 成立 ,于是有

从而有 ,进而有 .

七、(8 分)证明 的子空间 是可分的，其中 表示收敛数列全体.

八、(每小题 5 分,共 10 分) 设 是 空间, , 是一个给定的向量. 证明如下两个命题

定义 到自身算子:

则 为压缩映像的充要条件是 .

设 ,并且 ,则算子方程:

在 中有唯一解,其中 表示恒等算子.

九、 (每小题 5 分,共 10 分) 定义算子 如下:

证明 是线性算子;

证明 是有界算子,并且 .

十、(8 分)设 为一内积空间, ,则 的充要条件是: 对于任意 ,有 并且 。

证明: (必要性) 设 ,即 ,则对任意 ,

于是 。

(充分性) 设对任意 ,有 并且 。

来证 ,即 。事实上,

于是,可断定 。

十一、 设 是有界数列,定义线性算子 如下:

(1) 证明 是有界算子,且 ;

(2) 求 的 共轭算子 。

证明: (1) 显然是线性算子。 ,则

从而, 有界,并且 。另一方面,对每一个自然数 ,取 (第 项 为 1,其余各项为 0 的数列),则 ,且 ,于是又有 ,由 的任意性得到 ,因此 。

(2) ,有

其中, 。类似 (1) 中方法易证 ,因此 。