学习必备欢迎下载 《高等数学》授课教案 第一讲 高等数学学习介绍，函数 教学目的： 明白新数学熟识观，把握基本初等函数的图像及性质；娴熟复合函 数的分解； 点：数学新熟识，基本初等函数，复合函数教学程序 ：数学的新熟识— >函数概念，性质（分段函数）— >基本初等函数— 复合函数—>初等函数— >例子（定义域，函数的分解与复合，分段函数的图像） 授课提要 言：本讲第一是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复****结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量 反映；高等数学主要以函数作为争论对象，因此必需对函数的概念，图像及性质 有深刻的懂得）； 一，新教程序言 1，为什么要重视数学学习 1）文化基础——数学是一种文化，它的精确性，严格性，应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特点，是促进社会物质文明和精神文明的重要力气； 2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； 3）学问技术——数学学问是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种才能和技术； 4）聪明开发——数学学习的目的是培育人的思维才能，这种才能为人的一生供应连续进展的动力； 2，对数学的新熟识 1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学供应思想和方法，是推动人类进步的重要力气； 2）新数学训练观——数学训练（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培育人的科学文化素养，包括进展人的思维才能和创新才能； 3）新数学素养训练观——数学训练（学习）的意义：通过“数学素养”而培育人的“一般素养”； 学习必备欢迎下载 1，函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）； （用变化的观点定义函数），记： (1)定义域：自变量的取值集合（ 2，函数的图像：设函数就构成函数的图像； 例如：熟识基本初等函数的图像；3，分段函数：对自变量的不同取值范畴，函数用不同的表达式； 例如：符号函数，狄立克莱函数，取整函数等； 分段函数的定义域：不同自变量取值范畴的 三，基本初等函数熟记：五种基本初等函数的定义域，值域，图像，性质； 四，复合函数 就不能构成复合函数；ln (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集 进行；复合时，就直接代入 消去中间变量即可； 6，指出以下函数由哪些基本初等函数（或简洁函数）构成？ln(sin 五，初等函数：由基本初等函数经有限次复合，四就运算而成的函数，且用一 个表达式所表示； 2）初等函数的一般形成方式：复合运算，四就运算；摸索题 学习必备欢迎下载 3，任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？[不能 描述了他的一次行动，请你依据图形给纵坐标给予某一个物理量后，再表达他的这次行动 。

你能给图 标上详细的数值，精确描述这位旅客的这次行动并用一个 函数解析式表达出来吗？ 时间学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函 数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事 物联系的多样性； 2-3）；P7（A ：2-3） 课堂练习 （初等函数 ln(cos 改写为分段函数，并作出函数的图像？2，将函数 学习必备欢迎下载 数学熟识试验：初等函数图像熟识 -2-1 -2-1 -1-1 3，三角函数与反三角函数：（ -4-2 -3-2 -1 -20-1 5，分段函数：（ 学习必备欢迎下载 0。80。5 0。6 -2 -1 0。4-0。5 0。2 -1 -1 -0。5 0。5 其次讲导数的概念（一），极限与导数 教学目的： 复习极限的概念及求法；懂得导数的概念，把握用定义求导数方法； 点：求极限，导数定义及由定义求导法教学程序 ：极限的定义及求法（例）— >导数的引入（速度问题）— >导数的概念 —>导数与极限— >基本初等函数的导数（定义法）— >例子（简洁） 授课提要 言：在前面的教学中，我们已争论了变量间的关系(函数 )，本节将复习函数 的变化趋势 (极限 )求导数，在此基础上争论函数的变化率问题（即函数的 导数 ）；导数 是高数的重点，它的本质是极限（比值的极限），在现实中有极丰富的应用； 一，理论基础——极 复习）1，极限的概念（略讲函数在某点的极限定义） 2，极限的四就运算法就（略） 3，求函数的极限（几类函数的极限） lim ，就用约去零因子法 求极限 学习必备欢迎下载 4）如分式求极限； 时，分子分母都是无穷大，就适用无穷小分出法 sin3x sin3x sin 5x 二，导数定义（复习增量的概念） 引例1，速度问题（自由落体运动 引例2，切线问题（曲线 以上两个事例详细含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数 在某一点限，这种 特殊的极限 就是函数的导数； 解决问题的思路： 作微小变化x，求出函数在自变量这个小段内的平均变化率 处变化率的lim 学习必备欢迎下载 dydx 就称此极限值为 比值是函数 不存在（包括lim 为导函数，简称导数； (x0)就是导三，导数与极限的关系 导数是一种特殊（比值）的极限，即有导数 有极限，反之不成立；四，基本初等函数的导数 （定义） 由定义知求函数导数的步骤：（ 三步骤 （1）求增量；（2）求比值；（ 3）求极限； 7，由定义求函数摸索题 的导数？sin 的导数？（推导）sin 已知(sin ，利用导数定义求极限lim 探究题：从求变速直线运动物体的瞬时速度问题解决方法中，你对“ 极限法 学习必备欢迎下载 导数的本质从微观（局部）上争论非匀称量（如：速度，密度，电除法”； 其思想方法 流，电压等）的变化率问题，是处理非匀称量的“范畴内以“匀”代“不匀”或“不变”代“变”，获得近似值； (2)利用极限思想 使“近似值”转化为“精确值”；从函数的观点看，导数是描述函数的局部线性 形状，即可导函数表示的曲线在局部都可以近似为一条直线（切线），靠着切线 的斜率，可以争论函数的整体性质（导数应用中的单调性，极值等）； P22（A：1-3；B： 3-4） 课堂练习 ab3，求极限： 2，求极限lim 4，已知lim 5，用导数定义，求函数6，设物体的运动方程为 273t 小时的效力(9t 4。

5 学习必备欢迎下载 A，左右导数都存在C，右导数存在，左导数不存在 D，都不存在 为常数），试判定以下命题是否正确；[全部 数学熟识试验：两个重要极限的图像熟识 sin 1，极限：lim -1-0。5 0。5 0。9750。95 0。925 0。9 0。875 0。85 2，极限：lim 2。72。65 2。6 2。55 2。5 2。45 3，等价无穷小的直观熟识：（ tan 学习必备欢迎下载 -3-2 -1 -1-2 第三讲 导数的概念（二） 教学目的： 熟识导数基本公式 ；懂得导数的几何意义，会求切线方程； 点：基本导数公式，导数的几何意义（求切线方程）教学程序 ：复习导数定义— >基本导数公式— >例子（求导数）— >例子（切线方程）—>导数的物理意义（例子） >导数的几何意 授课提要 二，导数的运算法就1，代数和： 3，求函数在给定点的导数值？2e 学习必备欢迎下载 三，导数的几何意义 （作图说明） 结论： 4，求曲线在点(1,0)处的切线方程？ （1,f(1)）处的切线斜率？四，导数的物理意义 8，设某产品的成本满意函数关系：的边际成本，并说明其经济意义； 探究题：导数 P28（A：1，3） 课堂练习 （导数概念二 学习必备欢迎下载 在何处切线与Ox 轴正向夹角为 ，并且求该处切线的方程 2，已知曲线ln 相交于点（1，1），证明两曲线在该点处 相切，并求出切线方程？数学熟识试验： 导数的几何意义和美学价值 1，导数的定义（切线问题） dydx 103，导数的美学意义： 曲线的局部线性化 学习必备欢迎下载 -2-1 -2-1 -1-2 -1。

5 第四讲 求导公式与求导法就（一） 教学目的： 把握基本导数公式与导数运算法就，会求简洁函数的导数； 点：基本导数公式与法就教学程序 ：基本公式— >运算法就— >例子— >二阶导数的定义及求法 授课提要 一，基本导数公式由导数的定义，我们可以得到如下 基本导数公式： kuku 学习必备欢迎下载 2e x,求证：xy 三，二阶导数1，定义：如导函数 3，二阶导数的物理意义设物体的运动规律为： 处肯定答：命题成立 为价格；求边际利润，并运算150 400时的边际利 润，说明所得结果的经济意义； [导数的经济意义 学习必备欢迎下载 导数的物理意义更深层次反映了导数的本质：争论非匀速物体运动的变化率； 指速度对时间的变化率；二阶导数的几何意义：反映曲线的凹向； P30（A：1-2） 小学问 ：数学的三次危机 第一次数学危机：无理数的产生；（单位正方形的对角线长） 其次次数学危机：微积分的产生和完善；（极限和无穷小的定义） 第三次数学危机：集合论的产生；（罗素悖论） 课堂练习 （导数公式与法就一 在何处有水平切线？[x=-2/3] 2，曲线 3，已知曲线 的切线与直线2x 轴的交点为(xn,0)，求极限 19。

2t0。4t ，假设汽车作直线运动，求 5，设某种汽车刹车后运动规律为 学习必备欢迎下载 数学熟识试验：函数与导函数的图像比较（ -2-1 -2第五讲 求导法就（二），连续与导数 教学目的： 明白函数的连续性的概念，懂得连续与导数的关系； 点：基本导数公式，连续的几何直观，连续与可导的关系教学程序 ：复习基本导数公式，法就— >连续概念（极限定义）— >连续的条件 —>初等函数的连续性— >可导与连续（例）— >连续函数的极限（例子） 授课提要 二，连续的概念（作图直观懂得） x0点及邻近有定义，当 x0点连续； 说明：连续是一种特殊的极限；连续 有极限，反之不成立； 处连续？三，函数连续的条件 x0点及邻近有定义 x0点的极限存在 （３）极限值等于函数值； 学习必备欢迎下载 四，初等函数的连续性初等函数在定义区间内都是连续的；其图像是一条连续不断的曲线； 五，可导与连续 1，可导与连续的图象特点 （1）连续函数的图像是一条连续不断的曲线；（作图示例） （2）可导函数的图像不仅连续不断，并且曲线具有平滑性（无尖点，折点） 2，可导与连续的关系 定理：如函数 x0连续；反之，结论不成立； sin 但切线存在；3，极限，连续，可导之间的关系 连续有极限；反之不肯定成立；如 -1六，连续函数的极限 x0点连续，就 lim 学习必备欢迎下载 1．假如 的间断点，并判定其类型；探究题 连续函数的美学意义：和谐与奇特之美；连续表达的是自然和谐，社会进展的生生不息；间断就表现为不规章和与众不同，表达了自然界的丰富多彩 和社会进展中的跳动性； P34（A：1-2）；复习题（ 2-5） 课堂练习 （求导公式与法就二 3x2，求函数 处的导数值？2x 学习必备欢迎下载 到处连续，可导？ax A）连续点（B）可去间断点 （C）跳动间断点 （D）无穷间断点 数学熟识试验：不行导点的类型 0。

81。5 0。6 0。40。5 0。2 -7。5 -5 -2。5 2。5 7。5-3 -2 -1 0。5-3 -2 -1 -2-1 -1-0。5 -2 -3 -1 学习必备欢迎下载 0。50。5 1015 20 25 -2 -1 -0。5-0。5 -1 -1。5 -1 第六讲 定积分的概念 教学目的： 明白定积分的概念，懂得定积分的几何意义； 点：作为面积的定积分概念教学程序 ：提出问题— >解决问题（思想）— >定积分定义— （例子）— >定积分的性质（简洁） >定积分的几何意义 授课提要 言：在自然科学，工程技术和经济学的很多问题中，常常会遇到各种平面图形的面积运算；对于三角形，四边形及直多边形和圆的面积，可以用初等数学 的方法运算，但由任一连续围成的图形的面积就不会运算；下面争论由连续曲线 所围成的平面图形的面积的运算方法； 一求导数，问题引入 1，曲边梯形的定义 所谓曲边梯形 是指有三条直线段，其中两条相互平行，第三条与这两条相互 垂直，第四条边为一条连续曲线所围成的四边形；（如下列图） 例：如何求曲线（1）分析问题 所围成的面积？(特殊曲边梯形 学习必备欢迎下载 设想 ：用矩形近似代替曲边梯形；为了削减误差，把曲边梯形分成很多小曲 边梯形，并用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积；当分割越细，所得的近 似值越接近精确值，通过求小矩形面积之和的极限，就求得了曲边梯形得面积； （2）解决问题（思路） 第一步：分割其次步：近似代替 第三步：求和 四步：取极限二，定积分的定义 现实中很多实例，尽管实际意义不同，但解决问题的方法是一样的：按“分割取近似，求和取极限”的方法，将所求的量归结为一个 “和式极限”为函数的定积分； 和式极限；我们称这种 x)dxlim dx由定积分的定义知，以上实例可以表示成定积分：面积 ，积分区间[a,b]有关，而与积分变量用何字母表示无关； 三，定积分的几何意义 上连续时，定积分可分成三种形式：1，如在 成的曲边梯形的面积2，如在 与下方3，如在 结论：定积分的几何意义：“有号面积 +1,直线 所围成的图形面积？四，定积分的性质（简略） 学习必备欢迎下载 x)dxdx （4）积分中值定理：设函数 一个（中值），使 上至少存在一点，使得以 )的矩形的面积相等，如下列图．因此从几何角)可以看作曲边梯形的曲顶的平均高度；从函数值 因此积分中值定理这里解决了如何求一个连续变化量的平均值问题 cdx,其中 定积分的本质：从宏观（整体）争论非匀称量的“转变量”问题；是乘法 其思想方法处理非匀称量的“ ：(1)在小范畴内以“不变”代“变”，获 得近似值； (2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”；其中，“分”是为 了“匀”的需要，而“求和”是整体量的要求； P40（A：1-3） 课堂练习 x)dx表示曲边梯形的面积；（ ，积分区间[a,b]及积分变量 lnxdx 学习必备欢迎下载 二，用定积分表示面积： (1)曲线 用定积分的定义运算定积分cdx ,其中 二，由定积分的几何意义求直线形的面积？ 三，用定积分的定义求曲线面积？ 数学熟识试验：定积分思想的几何直观 在[0,1]1，函数 上所围成的面积分析： （1）步长为 0。

1 的分割；（ n=10） 0。80。6 0。4 0。2 0。20。4 0。6 0。8 （2）步长为0。05 的分割；（ n=20） 学习必备欢迎下载 0。80。6 0。4 0。2 0。20。4 0。6 0。8 （3）步长为0。01 的分割；（ n=100） 0。80。6 0。4 0。2 0。20。4 0。6 0。8 第七讲定积分与导数 教学目的： 把握原函数的概念及 N-L 公式； 点：作为路程的定积分，微积分基本定理教学程序 ：复习定积分概念（和式极限）— >原函数— >N-L 公式（求路程） 推导— 公式（运算方法）—>定积分的运算（简洁） 授课提要 言：定积分是一个重要的概念，假如用定义来运算，运算复杂且不易，所定积分与导数 以必需查找新的运算方法；下面将争论 一，原函数的概念 的关系； 学习必备欢迎下载 如：已知2x 的一个原函数，同理， 也是它的原函数；（说明：原函数不唯独） 二，变上限函数设函数 dt为变上限函数 )dt；它有如下性质： 由性质(2)及原函数的定义知， 在[a,b]上连续，就其原函数肯定存在，且原函数可表示为 公式（直观推导 （1）如已知路程函数（2）如已知速度函数 的一个原函数；一般地，有如下定理 公式揭示了定积分与原函数（不定积分）间的定积分的运算供应了有效而简便的方法； 联系 (2)由定义知求定积分的步骤 ：求原函数 求原函数的增量 dx sint，求时段 学习必备欢迎下载 摸索题 答：由于sin tdt 是以 为自变量的函数，故sin tdt (x)dx是常数，故 (x)dx的结果中不含 答：由变上限定积分求导公式，知cost dx cos 公式的意义：将冲突的“微分”与“积分”统一起来，是哲学中的“对立统一”规律的详细表现，是微观与宏观的辨证统一；其美学价值：宏观 )dtln( 学习必备欢迎下载 dxsin 3，用定积分求极限：xdx limdx ？（估值定理，夹值定理） 数学熟识试验：定积分： sin 的几何直观xdx -3-2 -1 -0。

5-1 第八讲 习题课（导数与定积分） 教学目的： 系统化本单元内容，把握基本概念与方法； 一，基本概念及方法 1，极限的概念，求极限的方法；2，导数的概念，导数公式及运算法就 3，导数的几何，物理及经济意义 4，定积分的概念，定积分的几何，物理意义（经济意义） N-L公式求定积分 二，基此题型： 1，求以下极限 学习必备欢迎下载 sin3x 2x 1)dxdx