门限模型

计量经济学

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门限模型原理

当解释变量与被解释变量是非线性关系时，通常可以通过加入平方项、使用最大似然估计法或非线性最小二乘法进行系数的估计，本文介绍的门限模型也是估计非线性关系的一种常见方法。门限模型又称门槛模型，主要用来解决自变量在不同值域内对因变量影响不同的问题。以单门限为例，当解释变量x的取值q大于γ（γ为一个常数）时，对被解释变量y的影响系数为β1；取值q小于γ时，影响系数为β2，γ两侧x与y均为线性关系，则可以假设该模型为：

可以将上式合并为：

其中I（·）为示性函数：

此时单门限模型在估计系数时会出现两种情形：

情形1：γ已知

γ已知可以直接通过OLS估计得到使得残差平方和最小的一致估计量。

情形2：γ未知

γ未知意味着它的值可能会取到x的任何值，即：

此时可分别代入这 n*m 个x的值，从中选择使残差平方和最小的γ，然后通过OLS求出参数估计量。

02

门限回归的检验

2.1门限效应的检验

仍以单门限为例，当门限效应存在时，β1≠β2，不存在时则二者相等，所以此时设定门限效应检验的原假设和备择假设为：

并设置LR统计量：

其中RSS为H0约束下的残差平方和，RSS的估计为无约束的残差平方和。当原假设成立时，γ取任何值都对模型没有影响，即γ不可识别，此时LR的渐进分布依赖于样本矩，无法得到其临界值，故可以通过法估计其临界值。

2.2门限值的显著性检验

该检验主要是检验一个具体门限值γ0是否显著，其原假设和备择假设为：

LR检验统计量为：

其中RSS(γ)为H0约束下的残差平方和，其余与上文含义一致，此时LR统计量的临界值是可求得的，可以直接进行检验。

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STATA命令

3.命令

[] [if] [in], rx() qx()[thnum(#) grid(#) bs() (#)noreg ]

其中必选项为被解释变量，为解释变量，rx()指与门槛变量存在交互项的变量，qx()为门槛变量；非必选项thnum(#)为门限个数，grid(#)为交叉点个数，bs() 是重复的次数，(#)为置信区间，noreg指不显示回归结果，指不显示过程。

3.2 命令

[] [if][in],()[]

其中为被解释变量，为解释变量,()为门槛变量。

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应用实例

仍旧以上一篇推送中参考的文章《生产性服务投入与制造业全球价值链地位:影响机制与实证检验》为例介绍门限效应的应用。

文章在进行人力资本的中介效应分析时发现，人力资本对全球价值链地位的影响并非是线性的，于是作者进行了门限效应的检验，检验结果为：

结果显示，单门槛和双门槛检验结果均为显著而三门槛检验不显著（也可以通过P值判断），所以该模型存在着双门槛效应，估计出的门槛值分别为0.4415和3.1295，于是将模型设定为：

上式表明文章不仅研究了人力资本与全球价值链地位的双门槛效应，同时研究了该效应下生产性服务投入对全球价值链地位的影响，回归结果见下图：

回归结果表明，人力资本变量小于0.4415时，人力资本对全球价值链位置呈显著负效应；介于0.4415和3.1295之间时，效益不显著；大于3.1295时，为显著正效应。生产性服务投入方面，不论人力资本如何变化，其对全球价值链地位的影响均为正向，只是显著性有所变化。

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总结

门槛效应为非线性经济关系的研究提供了新的方法，但也提出了新的问题。门槛效应一般在什么情况下存在？非线性关系都需要进行门槛检验吗？这些问题值得我们思考。

参考文献：

[1]杨仁发,刘勤玮.生产性服务投入与制造业全球价值链地位:影响机制与实证检验[J].世界经济研究,2019(04):71-82+135.

[2]陈强. 高级计量经济学及Stata应用[M]. 北京: 高等教育出版社, 2014.

撰稿：许茜