微积分的2.0版如何对函数进行分数阶求导?

众所周知，微积分是现代科学的基础。正是有了微积分之后，我们才有了研究万物变化的数学工具。举个最简单的例子：位移对时间的一阶导数代表位移的变化率，也就是速度;位移对时间的二阶导数代表速度的变化率，即加速度;等等。反过来，加速度对时间的一阶积分是速度，二阶积分是位移。

但是，不知你注意到了没有：不论求导也好，积分也好，传统的微积分都是整数阶的，有没有分数阶的呢?譬如，能不能对位移求1/2阶导数呢?

事实上，早在300多年前就有人向微积分的发明人之一(另一位发明人是牛顿)德国数学家莱布尼兹请教过这个问题。当时，可把这位数学大师问哑了。是啊，分数阶导数是什么意思呢?又该怎么去操作呢?这真是难以想象。

然而，今天，数学家对此问题不仅给出了肯定的回答，还发展出一门在现实中有着广泛应用的新的数学分支——分数微积分。

如何对函数进行分数阶求导?

我相信，当你读到这里，一定急于知道分数阶的微分和积分是如何操作的。让我们先来看一个简单的幂函数f'(x)=x n ，其中n为整数。

我们知道，对它进行一阶求导，有f'(x)=nx n-1 ，对它进行二阶求导，有f''(x)=n(n-1)X n-2 ，以此类推，对它进行k阶求导，有

其中n!=1×2×3×……×n。

为方便起见，我们定义一个Γ函数，Γ(m)=(m-1)!

这样，上面式子可改写为

在传统微积分中，k是整数，我们现在要把它推广到分数。但Γ函数中的自变量只能取整数，譬如Γ(1/2)是没有意义的，为了让Γ函数在自变量为分数的情况下也有意义，我们需要先将它进行推广，让它在自变量为分数时也有意义。

如何推广呢?我们注意到Γ函数有个特点，即

数学家发现，有这样的一个连续函数，也满足

这个条件。这个函数是以积分形式出现的：

你可能不太习惯这种形式的函数，但事实上，在这个积分中变量x被积分掉了，最后的结果只跟z有关，所以这是一个关于z的函数，其中z为任意大于零的实数。

于是，当Γ函数的自变量为分数时，只需代入上式，就可以计算出来结果。这样一来，幂函数的分数阶导数也就可以计算了。

现在，让我们来演示一下如何对f(x)=x进行1/2阶求导。这里，n=1，k=1/2。我们有

这就是对函数 f(x)=x进行1/2阶求导的结果。

我们知道，连续两次1/2阶求导应该等于一次一阶求导。是不是这样呢?我们不妨 f(x)=x拿验证一下。大家知道，对它一阶求导结果是1。你不妨对上式再进行一次1/2阶求导，你会发现结果确实是1。

因为任何连续函数原则上都能展开成幂函数的无穷级数求和的形式，所以知道了如何对幂函数分数阶求导，理论上你也就能对任何连续函数进行分数阶求导。

揭示大自然更复杂的细节

知道了分数微积分如何计算之后，想必你又要问：分数微积分代表什么意思呢?

这个问题不好回答。整数阶的导数相对还比较直观，譬如位移对时间的一阶导数是速度，位移对时间的二阶导数是加速度……但位移对时间的1/2阶导数是什么意思，还真答不上来，因为现实中并没有一个直观的对应物。我们不妨只把分数微积分当作一项数学工具，是对传统微积分的一个微调。

怎么理解后面这一点呢?

举例来说。你可以用一阶微分来模拟粘性液体的运动，因为液体的粘性通常与运动速度有关。同样，你也可以用二阶微分来模拟有弹性的固体(比如弹簧)的运动，因为它们的弹性通常与加速度有关。然而，自然界中还存在大量介于两者之间的材料，比如我们身上的动脉壁，它们既有点像粘性的液体，又有点像有弹性的固体。一阶微分和二阶微分都不适合给它们建立准确的数学模型。这个时候，我们就要求助于分数阶的微积分了。

总之，我们使用数学是试图捕捉和理解自然，但自然是复杂的，而分数微积分能允许我们比传统微积分更精确地揭示大自然的复杂细节。

目前，从研究癌细胞扩散到药物输送，再到制造更高效的电池，分数微积分已经获得了广泛的应用。