我们规定长方形的面积是长乘上宽，其它图形的面积都必须有一个统一的度量方法，这样才有办法进行面积的比较，这个度量标准

就是矩形的面积。比如三角形的面积，相当于它所在的矩形的面积的一半，如图

所以三角形的面积自然就是：底乘上高的面积的一半。

再比如平行四边形的面积，如图

它的面积都会等于一个矩形面积的一半，所以平行四边形的面积自然就是：底乘上高。

对于规则图形的周长就是各边的长度相加，那圆的周长呢？圆的面积怎么用矩形来度量呢？

1）圆的周长

想要知道圆的周长，可以直接通过测量的方式，找几个圆形的物体，分别量出它们的周长和直径，并计算出周长和直径的比值。通过试验和统计，

我们可以知道，圆的周长总是直径的三倍多一些，这个比值就是 $\pi$。

经过统计可以发现圆的周长和半径的比值是确定的，但这个数值却无法被精确得到圆周长公式，普通的测量方法，得到的比值精度是有限的，到目前为止，科学家

们还在致力于圆周率的计算。圆的周长计算公式为

$$l = 2\pi r$$

这个比值是通过不断地统计和测量发现的，一般取 $3.14$，这样就可以通过测量圆的半径来直接计算得到圆的周长，而不用去测量圆的周长。

2）圆的面积

圆的周长已经知道，那圆的面积如何计算呢？或者说，圆的面积如何也采用统一的度量方式来得到？

已经知道三角形的面积计算公式，我们可以由三角形的面积得到圆的面积，将圆按直径进行 $n$ 等分，每一份是一个相同的扇形，如下

当$n\rightarrow +\infty$ 时圆周长公式，每一个小扇形就逼近于一个等腰三角形，如图

所以，这个近似的小三角形的面积为

$$\Delta S = \frac{\pi r^{2}}{n^{2}}\sqrt{n^{2} - \pi^{2}}$$

所以圆的面积为

$$S = \lim_{n\rightarrow +\infty}n \Delta S = \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{\pi r^{2}}{n}\sqrt{n^{2} - \pi^{2}} = \pi r^{2}$$

圆的面积本质也是用矩形的面积衡量的，需要用到逼近和极限的思想。

进一步得，我们可以得到一个扇形的面积计算公式，设一个扇形半径为 $r$，弧长为 $l$，则

$$S = \pi r^{2} \cdot \frac{l}{2\pi r} = \frac{1}{2}rl$$

看起来很像三角形面积的计算公式。