声波如果在无界区域传播是没有共振模态的，只有在有界区域传播才讲共振模态。当声波在有界区域传播时，声波的线性叠加原理可以用于解释一种称为驻波的波动现象。

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声波的驻波现象

当声波在刚性边界的两个反射面之间来回反射时，就会形成驻波。图1所示为一个包含两个反射面的最简单的产生驻波的刚性边界区域。在此结构中，声波在反射面之间往返传播。

图1 声波在两个平行界面间的反射

在大部分频率下，反射面之间的距离与声波的波长不成整数倍关系，因此，声波的波峰与波谷可能出现在界面间的任何位置，并且出现的概率相等，如图2所示。然而，当波长和反射面间距成一定整数比例关系时，声波将沿着相同的轨迹在反射面之间往返传播，即声波的疏密状态在两个反射面之间的位置是固定的。

图2 两个平行界面间传播的疏密位置不固定的声波

由于声波在反射面之间的状态是固定不变的，因此称为驻波，更确切地说，是一种共振模态（或者称之为声腔模态）。驻波实际上是以一个正常的速度传播的，只是两列波叠加后波形并不向前推进，如图3所示。

图3 两个刚性界面间驻波的声压分量

图4 两个刚性界面间驻波的速度分量

从图3和图4可以看出驻波在两个刚性界面间的声压分量和速度分量的分布情况，此时，在两个反射面处声压分量达到最大值，速度分量达到最小值。满足以上条件的最低频率是声波半波长等于反射面间的距离。因此，在一定间距的两个反射面之间可能存在的驻波最低频率可以用下式计算

式中，——反射面间的距离（m）；

——声波的波长（m）；

——声速（m/s）；

——驻波的最低频率（Hz）。

这个公式与车辆乘员舱的第1阶声腔模态频率经验公式相同，在后续将对此进行说明，此时是乘员舱声腔最长方向的长度。

当反射面的间距等于半波长的整数倍时也能形成驻波，因此，理论上形成的驻波的频率有无数多个，这些频率都是的整数倍，并可以用下式计算

其中，——第n次驻波频率（Hz），n=1,2,3,…

从图3和图4可以看出，驻波的声压分量和速度分量在某些位置产生最大幅值，在某些位置产生最小幅值。例如，在图3中，声压分量的幅值在边界处和中点处达到最大值，而在图4中，速度分量在边界和中点处为零。声压分量幅值为零的位置称为压力波节点，声压分量幅值最大的位置称为压力波腹点。随着反射面之间驻波的半波长数量的增多，波节和波腹的数量随之增加。刚性界面压力波节点的数量等于半波长的个数，压力波腹点的数量比节点多一个。同理也存在速度波的节点和腹点，它们与压力波节点和压力波腹点是密切相关的，速度波腹点和压力波节点会同时出现，反之亦然，如图5所示。为是因为能量在声波的传输过程中，或者存储在压力波节点的速度分量中，或者存储在速度波节点的声压分量中。

图5 两个刚性界面间驻波的声压分量与速度分量

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在管道中的传播

驻波除了可以在上述刚性反射面之间传播外，还可以在以下两种边界条件下传播。第一种情况如图6和图7所示，声波从有界区域传播到无界区域，相当于在两端存在边界，例如，两端开口的管子。在这种情况下，在边界处的声压为零，而速度达到最大值，如图6和图7所示。和刚性界面内的驻波类似，驻波的最小频率应满足半波长等于边界间距的条件，其他驻波频率为最小频率的整数倍。因此，上面公式（2）也适用于计算这种情况下的驻波频率。

图6 两个有界-无界边界内驻波的声压分量

图7 两个有界-无界边界内驻波的速度分量

第二种情况是声压在一端为刚性边界，而另一端开口的管子中传播，如图8和图9所示。在这种情况下，开口端产生了压力波节点，而刚性边界处产生了压力波腹点。在这种边界条件下，驻波存在的条件是两个边界之间存在奇数个1/4波长。

图8 一端封闭一端开口区域内驻波的声压分量

图9 一端封闭一端开口区域内驻波的速度分量

1/4波长的偶数倍不能形成驻波，因为此时，正如图3和图6所示，会在两端同时生成压力波节点或压力波腹点，不满足边界条件。因此，驻波应满足的条件是，其频率为最小驻波频率的奇数倍，用代数式表示为

其中，——第n次驻波频率（Hz），n=0,1,2,3,…

图8和图9是n=2的驻波，该驻波的频率是最低频率的5倍。驻波可以存在于任何形式的声波传播中。假设琴弦上横波的传播速度为，则两端固定的弦上的横波形成的驻波频率也可以公式（2）来计算。

在图8中，我们注意到声波在开口端入射进入之后，经反射回到开口端位置时，反射声压的相位与入射声压的相位相差180度，这样再与入射波叠加时就达到了消声的目的。

驻波在声学中通常称为特定系统的模态，驻波的最低频率称为第1阶模态，最低频率的倍数为高阶模态。因此，系统的第3阶模态是驻波频率第三低的模态。产生驻波的边界条件也不仅限于两个平行的反射面，事实上任何反射或折射回来的声波均能产生驻波或模态，驻波可以以任何形式存在于一维、二维或三维空间中。产生驻波的必要条件是声波的传播路径是周期性重复的，从而保证声波的每一次传播是同相位的。图10所示为二维驻波的一个例子。

图10 二维驻波

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房间的共振模态

当房间被一个瞬态脉冲声激励后，声能通过墙面反射回来，每次反射都有一部分能量被墙面吸收，因此声能按指数规律衰减。理想状态下，声波从每个面反射的概率相等，房间内形成一个扩散声场，声能按单一的指数规律衰减，衰减常数与房间的平均吸声系数成正比。但实际情况并不总是这样，有时声能会沿某个固定的，周期性的轨迹反射，如图11所示，如果声程正好是波长的一半，则会在房间里形成驻波。这些驻波（共振模态）的声压和振速在空间的分布是静态的，与房间里的其他声波有以下不同之处：

驻波并不以相同的概率到达各个墙面，而是只在少数相关的墙面之间来回反射；

驻波并不随机地从各个不同角度撞击墙面，而是以一定的角度入射到墙面；

驻波会沿着周期性的路径回到原来的墙面，因此与频率的关系非常密切，即驻波的频率往往是离散分布的，与房间的尺寸有关。

图11 房间里周期性的声波反射路径

房间驻波的另一个名称是共振模态，其发生的频率称为“模态频率”。由于这些模态在空间分布是静态的，因此，随着位置的变动，空间各处声压变化较大，这是所不希望出现的。这有三种类型的房间模态，分别是轴向模态、切向模态和斜向模态。

(1)轴向模态

这些模态发生在两个相对的墙面之间，如图12所示，其频率与房间尺寸有关。轴向模态频率由以下公式计算：

其中，——轴向模态频率（Hz）；

——两个反射面之间的半波长个数，x=1,2,3,…

——两个相对反射面之间的距离（m）;

——为声速（m/s）。

式（4）说明轴向模态频率有无数多个，其半波长的整数倍正好等于两个墙面之间的距离，最低模态频率的半波长正好等于两个反射面之间的距离。

图12 房间轴向模态路径

(2)切向模态

这些模态出现在4个面之间，如图13所示。其频率与房间两个方向的尺寸有关，切向模态频率可以由以下公式计算：

其中，——切向模态频率（Hz）；

——一对墙面之间的半波长个数，x=1,2,3,…

——另一对墙面之间的半波长个数，y=1,2,3,…

——两对相对反射面之间的距离（m）;

——为声速（m/s）。

图13 房间切向模态路径

切向模态也有无数多个，其频率应满足的条件是，在两对反射面之间正好能够容纳整数倍半波长，结果导致最低切向模态频率比最低轴向模态频率高，尽管从表面上看其路径更长。这是因为驻波必须与两个相对墙面的间距相匹配，两个墙面间距是三角形的直角边，而不是斜边，当声波沿着斜边传播时，在房间的边界方向产生的有效波长或相位速度更大，如图14所示。因此，最低切向模态频率必须满足的条件是相位速度对应的半个波长正好等于两个墙面的间距。

图14 房间切向模态的相位速度

(3)斜向模态

这些模态出现在房间所有6个面之间，如图15所示，其频率与房间的三个尺寸都有关。斜向模态频率由以下公式计算：

其中，——斜向模态频率（Hz）；

——分别为三对墙面之间的半波长个数，取值为1,2,3,…

——分别为三对面之间的距离（m）;

——为声速（m/s）。

图15 房间斜向模态路径

最低斜向模态频率也比最低轴向模态频率高，原因与切向模态相同。

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模态频率的通用计算公式

在上一节中介绍的3种形式的模态构成了房间里可能存在的一系列密集的模态频率。令斜向模态中的，和的取值为0,1,2,…，得到房间中所有可能的模态频率计算公式如下：

其中，——分别为三对墙面之间的半波长个数，取值为0,1,2,3,…。

上式表明，如果某个墙面间距和其他墙面间距成整数倍关系，就会导致一些模态频率相同的情况出现，这能引起严重问题。如果在车辆的乘员舱出现多个声腔模态频率相同的情况，那么，这个频率的声音就会特别突出，这是不希望出现的。为了使模态频率分布均匀，房间的尺寸最好采用非整数比关系。关于最佳空间尺寸比例的研究工作进行了许多，表1所示为一些可选用的最佳尺寸比。但这些并不是理想空间尺寸比例的唯一选择。房间驻波模态是任何结构的包含声源的封闭空间固有存在的声波形式，不能通过改变房间形状，例如，通过使某个墙面倾斜一定角度将这些共振模态去除。房间形状的改变只能使共振频率值的计算变得更为复杂。

表1 一些房间最佳尺寸比例

高

宽

长

1.00

1.14

1.39

1.00

1.28

1.54

1.00

1.60

2.33

假设房间尺寸为3.5m×5m×2.5m，注意到后两个尺寸成2倍比例关系。这个房间的最低声腔模态频率为沿5m方向的轴向模态频率，即x，y和z取值为（0 1 0），等于34.4Hz。由于5m是长度2.5m的2倍，因此，沿5m方向的第二个轴向模态频率（0 2 0）与沿2.5m方向的第一个轴向模态频率（0 0 1）重合，均为68.8Hz，导致在这个频率处，声音得到了加强，出现了听觉上明显可以觉察到的频响峰值。

从式（7）可以看出，当房间某个方向的尺寸大于其他两个方向时，则房间的最低模态频率为这个方向的轴向模态频率，此时模态频率计算公式简化为式（4）。

如对于私家车而言，乘员舱的第1阶声腔模态则是沿车辆纵向长度方向的轴向模态。而对于商用车的驾驶室而言，由于其横向尺寸大于纵向尺寸，因此，商用车驾驶室的第1阶声腔模态是沿驾驶室横向方向的轴向模态。

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声音共振模态的表现

声音在房间内的共振模态的表现不同于普通扩散声场的表现。存在以下特点：

由于非随机入射，驻波模态撞击的墙面数目较少，吸声系数也比随机入射小，因此，驻波模态的声吸收并不像其他声波那样强；

吸声量的减少与频率关系密切。在驻波发生的频率，声吸收较小，声音的衰减速度较慢；

房间声能的衰减不再是按单一的指数规律衰减形式（时间常数正比于平均吸声系数），而是存在几个衰减时间，其中最短的衰减时间一般由扩散声场产生，较长的衰减时间往往由房间共振模态产生，结果使得这些频率的声音成分过多，使房间的音质下降。

参考：

1. David M.，Jamie A. S.Angus. and (Fifth ), Press, 2017

2.陈小平译. 音乐声学与心理声学，人民邮电出版社，2014