在多个领域，为了避免共振都需要清楚地知道结构的固有频率。如果外界的激励频率接近或等于结构的固有频率，那么，结构将发生共振现象，对于绝大多数应用来说，这都是有害的，需要避免。因此，清楚地知道结构或部件的固有频率是非常有必要的，那如何测量固有频率呢？

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定义

结构或部件在受到外界激励产生振动响应时，将按特定频率发生自然振动，这个特定的频率被称为结构或部件的固有频率，通常一个结构或部件有多阶固有频率。固有频率与外界激励没有关系，是结构的一种固有属性。不管外界有没有对结构进行激励，结构的固有频率都是存在的，只是当外界激励结构时，结构是按某一阶或某几阶固有频率产生振动响应。这时，我们说结构或部件的这一阶或这几阶（模态）参与响应。也可以这样理解，烹饪时，做的每一盘佳肴都是取有限数目的食材，而实际的食材数目可以说是无穷多的。只是这些有限数目的食材参与了这道佳肴。

对于无阻尼单自由系统而言，如图1所示，固有频率计算公式定义如下：

图1无阻尼单自由度系统

单位为Hz，表示一秒钟振动循环次数。也可以用圆频率（也称角频率）来表示固有频率，公式如下：

单位为rad/s。在这考虑的是无阻尼的情况，因此，获得的固有频率为无阻尼固有频率。对于一般性结构系统而言，如图2所示，都是有阻尼的，因此它的固有频率为有阻尼固有频率。无阻尼固有频率与有阻尼固有频率的关系如下：

图2有阻尼单自由度系统

假设阻尼比ξ=10%，则ωd=0.99499ωn，因此，阻尼对结构的固有频率影响有限，更何况现实世界中，除了含有主动阻尼机制的结构外，如减振器，一般结构的阻尼比都远小于10%。通常现实世界中测试所得到的固有频率都是有阻尼固有频率。以下没有特殊说明时，都是指有阻尼固有频率。

固有频率是结构或部件模态参数（固有频率、阻尼和模态振型）之一，因此，几阶固有频率实旨上是指几阶模态。

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影响因素

从上面的公式，可以看出，结构或部件的固有频率只受刚度分布和质量分布（注意，这里说的是刚度分布与质量分布，而不是刚度与质量，这是因为现实世界的结构或部件都是一个弹性体或连续体，有多阶固有频率，而不是一个单自由度系统）的影响，而阻尼对固有频率的影响非常有限。其他的参数会影响固有频率，但最终都是通过影响这两个参数来影响固有频率的。譬如，材质不同、材料属性（密度、杨氏模量和泊松比等）不同、几何尺寸不同、边界条件不同等等，最终影响的参数都是质量分布和刚度分布这两个参数。因此，影响固有频率的只有质量分布和刚度分布，而非其他任何参数。质量增大，结构的固有频率必然降低；刚度增大，结构的固有频率必然增大。但是刚度继续增大，固有频率不会无限增大，只会使固有频率增大一定距离。刚度增加越快，固有频率移动越慢。这是因为结构的共振峰对应的是固有频率，刚度增大后，结构的固有频率会向上移动靠近反共振峰，在《什么是动刚度？》一文中曾讲到，反共振峰对应的刚度是无限大的。因此，刚度无限增大，结构的固有频率向上移动不超过反共振峰对应的频率，所以刚度增大只能使固有频率移动一定距离，如图3所示。

图3刚度增大只能使固有频率移动一定距离

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为什么有多阶

在对结构或部件进行固有频率测量时，通常能得到多阶固有频率，如图4所示。在这个FRF图中存在多个峰值，而每个峰值至少对应一阶固有频率，因此，结构存在多阶固有频率。那么，为什么结构存在多阶固有频率呢？

图4 某结构的FRF

在高中物理课本中，我们曾学习过弹簧-集中质量的单自由度系统的固有频率公式。如图图5左侧所示。其运动方程为Asinωt（简谐运动），对应一阶固有频率。对于两自由度系统而言，如图5中图所示，运动方程是两个正弦波的叠加，因而，对应两阶固有频率。同样的道理，三自由度系统对应三个正弦波，因而，有三阶固有频率。

图5 从左到右：单自由度系统，两自由度系统和三自由度系统

因此，“阶”与自由度相对应：1个自由度对应1阶固有频率（或者是1阶模态）。自由度是指用于确定结构在空间运动所需要的最少的、独立的坐标个数。质点有三个平动自由度；刚体有六个自由度，分别为三个平动和三个转动自由度。一个连续体或弹性体实际上有无穷多个自由度，此时，任意连续结构都可以看成是无限多个微刚体组成的，每个微刚体有6个自由度，因而，我们可以认为任意连续结构具有无限多个自由度，但是，这些结构又可以近似地看作是由有限个微刚体组成的（比方有限元分析时只能划分有限数量的单元），因此又可以认为连续体结构具有有限个自由度。该自由度数决定了解析质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵的维数，也决定上理论上存在的固有频率阶数或模态阶数。虽然连续体理论上有无限多阶固有频率，但很多情况下我们只关心低阶的固有频率或者特定阶的固有频率。这是因为固有频率越低，越容易被外界激励起来。另外，结构也可能受到特定的激励，如在某恒定转速下运行，因此，也可能关心特定阶的固有频率。

虽然结构有多阶固有频率，但很多情况下，可能指的是第一阶固有频率。因而，第一阶固有频率也称为基频。

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与共振频率的区别

共振是指系统受到外界激励时产生的响应表现为大幅度的振动，此时外界激励频率与系统的固有频率相同或者非常接近。共振是一种现象，共振发生时的频率称为共振频率。不管共振发生与否，结构的固有频率是不变的，而只有当外界的激励频率接近或等于系统的固有频率时，系统才发生共振现象。当结构的阻尼非常小时，共振频率近似等于结构的固有频率。发生共振时，结构的振动非常剧烈，这将导致不可预料的行为。因此，通常都要避免共振，但也有利用共振原理的，如振动筛、微波炉。当激励频率与固有频率相等或接近时，才发生共振。因而，共振频率不一定完全与固有频率相等，共振频率是按外界的激励频率来讲的，而固有频率是从结构来讲的。虽然很多情况下，都认为共振频率就是固有频率。在频响函数曲线中，共振峰对应的频率为结构的固有频率，如图6所示。但很多情况，共振现象不是发生在单一频率（固有频率）处，而是具有一定宽度的共振带。也就是存在一个频率区间，在这个区间内，系统很容易发生共振现象。

图6 共振峰对应固有频率

在图中，经常可以看到如图7红框所示的垂直于频率轴的具有一定宽度的高亮区域，这个区域就是共振带区域。这个区域一定是在结构的某一阶固有频率附近。从图7可以看出，共振区域并不随转速的变化而变化，而是始终垂直于频率轴。这是因为结构的固有频率是结构的固有属性，跟外界激励没有关系。

图7 中的共振带

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避免共振，激励频率须离固有频率多远

当外界激励频率接近系统的固有频率时，系统会发生共振现象，那么，激励频率离固有频率多远时，才能避免共振呢？或者说，共振带一般出现在固有频率附近多宽的区域？在图8左图中，对同一个单自由度系统进行激励，但激励频率不同，紫色的激励频率是固有频率的0.4倍，蓝色的激励频率是固有频率的1.01倍，红色的激励频率是固有频率的1.6倍。

图8 对同一单自由度系统施加不同的激励

从三个运动的幅值可以明显看出，蓝色振动幅值最大，其次是紫色，最小的是红色。系统相同，不同的仅是激励频率。或者说激励频率不同，系统的响应大不相同。当激励频率接近固有频率时，系统的运动幅值最大（出现共振现象）。也就是蓝色的振动幅值远大于其他两个。因此，激励频率对系统响应有明显影响。那么，激励频率离固有频率多远才能避免共振呢？用悬置隔振这张图（图9）来说明，纵轴为传递率，横轴为激励频率与固有频率之比。从图中可以看出，传递率等于1时，对应的激励频率与固有频率之比为1.414，如图中红点所示。因此，只有当激励频率大于固有频率40%以上时才能起到避免共振的作用或者起到隔振的作用。但这是从隔振层次来说的，如悬置为了满足隔振要求，激励频率应是动力总成刚成模态频率的2-3倍，即下图中阴影区域。

图9 悬置隔振

很多情况下，要考虑40%以上的频率间隔，似乎是不现实的，因此，很难给出一定具体的数字来确定到底应该须离固有频率多远的距离。但是，也有一些行业普遍认同的观点，如在汽车行业，一般要求是距固有频率有3Hz的间隔或者15%的距离。

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怎么测量

固有频率是结构的全局属性，不会随测量位置的变化而变化。因此，固有频率测量时，理论上讲，只需要在一个测量位置布置一个振动传感器即可测量出关心频率范围内所有的固有频率。因此，固有频率测量时，至少需要在一个测量位置布置一个单向振动传感器进行测量。

虽然理论上讲，在一个位置安装一个单向振动传感器就能测量出结构所有阶固有频率，但是却有一些现实方面的影响，导致测量存在问题，这主要体现在以下几个方面：

1）与测量位置有关。我们知道模态有节点，在布置模态参考点时，要求避开关心的所有模态的节点位置。同样的道理，固有频率作为三个模态参数之一，同样要遵循这样的要求：响应位置避开关心模态的节点。从这一点来讲，在进行固有频率测量时，应多布置几个响应位置，或者说多使用几个振动传感器，且避免对称布置。

2）与激励位置有关。如果采用测量FRF的方法进行测量，那么，要求激励位置也应该避开关心的所有模态的节点位置。这是因为如果激励位置是某阶模态的节点位置，那么将激励不起来这阶模态，因而这阶模态将不参与结构的响应，导致这阶模态在FRF曲线中不可见。也就是说，对于固有频率测量而言，要求激励与响应位置同时避开模态节点位置。那么，应激励多个不同的位置，以防一个激励位置是一阶或多阶模态的节点。

3）与结构特点有关。如果结构是一个强方向性模态（一阶或多阶模态响应仅出现在某一个方向，而在其他方向几乎没有响应）结构，那么，如果只在一个方向布置一个单向传感器，那么必将丢失其他方向的固有频率。因此，对于具有强方向性模态的结构而言，应该在不同的方向布置测点，如在不同位置按不同布置单向振动传感器，或在同一位置布置三向振动传感器。

当仅在结构一个位置布置传感器进行测量时，由于各阶模态的节点位置都是不相同的，因而，固有频率测量会遭遇与模态参考点相同的风险：一个测量位置会导致一阶或几阶固有频率不可见，因为一个测量位置不是这阶模态的节点，就可能是那阶模态的节点，这种可能性非常大。因此，强烈建议布置多个测量位置，在多个位置激励，在多个方向上进行测量。

在对结构系统进行固有频率测量时，测量方法可以分为以下几类：

1）测量FRF：如采用传统的FRF测量方法，锤击法与激振器法。由于固有频率是模态参数之一，所以，采用测量FRF方法测量固有频率同样要求遵循模态测试的那些要求。如激励响应位置要求、激励力的大小等，但此时要求激励与响应同时避开模态节点位置。

2）振动台测试：将待测结构在振动台上进行随机激励或扫频激励，然后分析响应信号获得结构的固有频率。这时，要求响应位置避开关心的固有频率对应的模态的节点位置。

3）只测量响应：当结构处于工作状态时，可以仅测量结构的响应，然后对响应进行频谱分析。但这时频谱图中的峰值可能有的是结构的固有频率，也可能有的是强迫响应频率，还有可能是转频及其倍频。另外，当采用这种方法时，工作载荷可能不能将所有关心的固有频率都激励起来，可能仅激励起一些固有频率，甚至连基频也激励不起来的情况也存在。因此，采用这种方法时，要仔细评判。

4）变转速激励：对于旋转机械而言，可以采用变转速方法，如升降速测量，然后对响应信号进行瀑布图分析，在瀑布图中垂直于频率轴的峰值区域即结构的一阶固有频率。但这种方法，通常很难准确地得出固有频率的具体数值，更多对应的是一个共振带，如图7所示。

5）非接触式测量：当结构是一个轻质结构时，哪怕是在结构上布置一个轻质的传感器也会导致固有频率移动明显，这时宜用非接触式的传感器进行测量，如电涡流位移传感器，声压传感器等。我曾经采用声压传感器测量过PCB板、轴瓦等轻质结构的固有频率。

6）其他方法：如果能按测量FRF的方法来测量是最好的，但很多时候，我们都没有激励设备可用，那么这个时候，我们可以采用特殊的激励方法，仅测量结构的响应，对响应进行频谱分析获得结构的固有频率。这些特殊的激励方法包括：手拨方法（针对小型轻质结构）、阶跃方法（使结构存在一个初位移，然后突然释放）、生活中的各式锤子激励等。

大多数情况下，我们可以得到结构多阶固有频率，这个时候应该将固有频率按频率值从小到大的顺序依次列出测量到的所有阶固有频率。我个人认为，对于绝大多数情况，前几阶（小于等于10阶）固有频率就可满足测试要求。当然，可能大多数情况下，固有频率测量仅仅是指测量第1阶固有频率。

对于FRF曲线，曲线图中各峰值对应的频率即为各阶固有频率。但对于频谱图而言，可能会存在噪声干扰，这时，如果发现频谱图中有线状谱，那么这种情况下，可以认为该线状谱所对应的频率不是结构的固有频率，这是因为线状谱的阻尼为0，这是不可能的，结构总是存在或大或小的阻尼，不可能阻尼为0，因此，这时，这些线状谱可以认为是干扰或其他类型信号的频率。

在二维频谱图中，并不是所有的峰值对应的都是固有频率，这是因为，有可能是激励频率或者是它的倍频，而这些频率都不是固有频率。因此，在进行固有频率测试时，经常通过测量频响函数的方式来测量，因为频率函数中的峰值对应的都是系统的固有频率，不会存在强迫的激励频率。