高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围

高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点，也是一个难点，求离心率的难点在于如何建立不等关系定离心率的取值范围.‎一、直接根据题意建立不等关系求解. 21世纪教育网例1：（08湖南）若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D. (5,+)‎解析 由题意可知即解得故选B. ‎备选（07北京）椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）‎Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．‎解析 由题意得∴故选D. ‎二、借助平面几何关系建立不等关系求解例2：（07湖南）设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎A．B．C．D.‎分析 通过题设条件可得，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？‎解析：∵线段的中垂线过点离心率， ∴，又点P在右准线上，∴‎即∴∴，故选D.‎点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.‎三、利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.‎例3：（2008福建）双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B.C.(3,+)D.‎分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？ ‎解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|-|PF2|=|PF2|=，|PF2|即∴‎所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.‎点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于）则可建立不等关系使问题迎刃而解. ‎备选（04重庆）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：()‎ABCD ‎‎∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1|-|PF2|=3|PF2|=，|PF2|即∴‎所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.‎备选已知，分别为的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为离心率，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎A B C D解析 ，欲使最小值为，需右支上存在一点P，使，而即所以.‎例5：已知椭圆右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

‎解：设P点坐标为（）,则有消去得若利用求根公式求运算复杂，应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知由得例6：椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使. 求椭圆离心率的取值范围；‎解析 设……①‎将代入①得 求得 .‎点评：中，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.‎四、运用数形结合建立不等关系求解例7：（06福建）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是‎（A）（B）（C）（D）‎解析 欲使过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，即即∴即故选C.‎五、运用函数思想求解离心率例8：（08全国卷Ⅱ）设，则双曲线的离心率e的取值范围是A．B.C.D. ‎解析：由题意可知∵∴‎‎∴，故选B.‎六、运用判别式建立不等关系求解离心率例9：在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，求椭圆的离心率.‎解析: 由椭圆的定义，可得 又，所以是方程的两根，由， 可得，即所以，所以椭圆离心率的取值范围是例10：（04全国Ⅰ）设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围：‎解析 由C与相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 ‎‎（1－a2）x2+‎2a2x－‎2a2=0.①‎所以解得双曲线的离心率‎∴‎所以双曲线的离心率取值范围是总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.‎w.w.w.k.s.5.u.c.o.m