大学微积分l知识点总结 【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式： ab 扩展：若有柯西不等式：设a1、a2、...an，b1、b2、...bn 均是实数，则有： 时取等号为常数， f（x）具有对称性。口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 2、周期性 双向不等式：两侧均在ab0 或ab0 时取等号 f（x）的图像关于（（a+b）/2，c/2）对称4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴 和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。 （1）若f（x）的图像有两条对称轴x=a 和x=b，则f（x）必定为周期函数，其 中一个周期为2|b-a|。 （2）若f（x）的图像有两个对称中心（a指数函数求导，0）和（b，0），（ab），则f（x） 必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a|。 （3）若f（x）的图像有一个对称轴x=a 和一个对称中心（b，0），（ab）， 则f（x）必定为周期函数，其中一个周期为4|b-a|。 3、三角函数 余割倒数关系： tan cos sin cot sin cos 平方关系： sin sin sin cosa cos cos sin cos sin cos cos cos sin sin cos sin tan tan cosA cos sin cos cos ，其中证明： sin 4、数学归纳法数学上证明与自然数 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

例如：前n 个奇数的总和是n ，那么前n个偶数的总和是：n 属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法由下面两步组成： 递推的基础：证明当n=1时表达式成立 递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1 时同样成立 （1）第一数学归纳法 证明当 取第一个值n0 时命题成立，n0 对于一般数列取值为 也有特殊情况假设n=k（kn0，k 为自然数）时命题成立，证明当n=k+1 时命题也成立 （2）第二数学归纳法 对于某个与自然数有关的命题P（n） 验证n=n0 时P（n）成立 假设n0n＜k 时P（n）成立，并在此基础上，推出P（k+1）成立 （3）倒推归纳法 验证对于无穷多个自然数n 命题P（n）成立 假设P（k+1）成立，并在此基础上，推出P（n）成立 （4）螺旋式归纳法 对两个与自然数有关的命题 验证n=n0 时P（n）成立 假设 P（k）（k＞n0）成立，能推出 Q（k）成立指数函数求导，假设 Q（k）成立，能推出 P（k）成立。 5、初等函数的含义 概念：初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常 数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生，并且能用一个解析式表 示的函数。

【有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】【基本初等函数：对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数】 6、二项式定理：即二项展开式，即（a+b） 称为二次项系数其中 项，它是第叫做二次项展开式的通 其中，7、高等数学中代换法运用技巧 倒代换 把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替，此种方法被 称为“倒代换”法 增量代换 若题目中已知x＞m，则引入辅助元x=m+a（a＞0），再将辅助元代入题中解题。 此种代换方法称为“增量代换法” 三角代换 lim8、其他一些知识点 不是正数，不是负数。是自然数。0是偶数，偶数分为：正偶数、负偶 （2）正偶数称为“双数”（3）正常数：常数中的正数 （4）质数：又称“素数”。一个大于 和它自身以外，不能被其他自然数整除的数，否则称为“合数”。最小的质（素）数是 既不是素数，也不是合数。 （5）exp：高等数学中，以自然对数e 为底的指数函数 （6）在数学符号中，sup 表示上界；inf 表示下界 （7）：表示恒等于 的阶乘是1.阶乘是一个递推定义，递推公式为：n！=n（n-1）！因为 【第二部分】函数与极限常用结论（等价无穷小很重要） 为初等函数，又称“幂指函数”，e即根据此公式得到，e 2.718 列举一些趋向于0的函数： 柯西极限存在准则：柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理。

给出了极限收敛的充分必要条件是： 对于任意给定的正数ε，存在这样的正整数N，使得当m＞N，n＞N 时就有|xn-xm| ＜ε。这个准则的几何意义表示，数列｛Xn}收敛的充分必要条件是：该数列中足 够靠后的任意两项都无限接近。 夹逼定理的两个条件：左右极限存在；左右极限相等 【极限计算的技巧总结（不包含教材介绍的方法以及公式）：】 （1）洛比达法则 设函数f(x）和F(x）满足下列条件： （2）等价无穷小一般要将变量的取值变为趋向于0 的代数式，如x—，令t=1/x 无穷小的概念： 高阶无穷小：当 时，如果lim（B/A)=0,就说B 高阶的无穷小低阶无穷小：当 时，如果lim（B/A)=,就说B 的同阶非等价无穷小等价无穷小：lim （B/A）=1，就说B 的等价无穷小（3）斯托尔茨定理 设数列 是连续函数：（5）求两个数列之商的极限，在两数列都具有高次项的情况下，可以直接比较 最高次项而忽略较低次项，该原理仅仅限于无穷数列，对于有穷数列不能直取。 （6）分母趋近于0，而分子不为0，其极限不存在或无穷 所以证明： 、或者 cos、 cos（9）在求极限的过程中如果遇到n 次项等高次项而无法解题时，一般可以通过 借助 进行消去高次项的运算，有的也可以使用泰勒公式。

（10）计算极限时出现出现 anx或者 sin(sinx的形式，应用泰勒公式计算。 （11）三个重要的结果 解题思路：函数的连续性和间断点问题 （1）如何讨论并确定函数的连续性？ 若该函数是初等函数，则该函数在其定义域区间均连续 若是一元函数，则可对其求导，其导数在某点上有意义则函数在该点必然连续 （可导必连续） 求助极限，函数在该点极限等于函数在该点函数值，计算时注意左右极限 （2）间断点问题 间断点的分类： 在区间断点，则函数 上仅有有限个第一类间 在区间 如果函数 断点 的第二类间 称为函数 不存在时， 的左右极限至少有一个 存在左右极限均 第一类间断点的特点是 点统称第一类间断点。 可去间断点和跳跃间断 称为跳跃度 的跳跃间断点， 为函数 已经不是原函数。处连续，此时 充定义或改变的可去间断点，只需补 为函数 可去间断点。若 上，存在定义在集合 不一致连续：设函数 的绝对值就可以任意地分靠近，相应函数值差 位置怎样，只要二者充 中的两点定义表明，无论 上一致连续。 定义在集合：设函数 一致连续（均匀连续） 充要条件【第三部分】导数与微分 法线斜率和切线斜率相乘等于-1（切线与法线垂直） 反函数求导：反函数导数原函数导数=1或写成： dydx dxdy 的求导方法特殊复合函数： vu´ln 转化y=f（x）亦称为“零阶导数”（函数的零阶导数就是其本身） 隐函数：F（x，y）=0，y=f（x）带入即可得到F【x，f（x）】=0，满足该恒等 式即为隐函数 国际数学通用标记： 易错点：求导时，不能将y与f（x）等同。

二者导数未必一致 【带有绝对值的函数该如何求导？】 带有绝对值的函数脱掉绝对值符号后是一个分段函数，应当分段求导。特别应注 意的是，分段点的导数严格来讲，应当按定义来求。 【经典题型总结】 的时候处处可导不等于 所以函数在 dtdy dxdy dxdy 方程化成如下的形式：证明可将 为常数）中令 ）在方程 dtdy dt dx dt dy dx dt dt dy dx dtdy dx dt dt dy dx dy dtdy dtdy dtdy dxdy dxdy 所以：原式 dydx dx dxdy dy dx dy dydx dx dydx dy dx dy dydx 高阶导数：（1）高阶导数的运算法则 为常数其中 （2）【浅谈高阶导数的求法】高阶导数求法一般包括6 种方法，即根据高阶导数定义求之；利用高阶导数 公式求之；利用莱布尼茨公式求之；用复合函数的求导法则求之；用泰勒 公式求之；交叉法，等等。 定义法：运用求导公式，求导法则求导，n 阶导数一般比较其规律性 高阶求导公式：把高阶求导公式化为代函数之和，分别求之 莱布尼茨公式求导：当所求导数的函数是两个函数的乘积时，宜用莱布尼茨公 式求之。

特别地，当其中一个函数的高阶导数为0，可以用此公式求之；两个因 子中，其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时，可以用此公式。 复合函数求导法：复合函数求导法则还可以推广到多次复合的情形。在求导时， 能从外层向内层逐层求导，一直求到对自变量求导数为止。若存在单值反函数， 常用复合函数求导法则，求其反函数的高阶导数。 【名词释义】单值反函数：若对定义域每一个自变量x，其对应的函数值f（x） 是唯一的，则称f（x）是单值函数。反过来，对于任何一个函数值y，都有唯一 的一个自变量x 与之相对应，则此时称y=f（x）为单值反函数。 泰勒公式求导法 证明一函数（隐函数）处处可导：则应先根据题意找出几个关键的点，然后根据导数的基本公式： 进行判定证明 线性复合公式：一阶导数：切线斜率 二阶导数：曲线曲率 关于曲线凹凸性的两个定理及应用 dtdx dx dtdx dx dxdy 解答：（2）函数的二阶导数等于原函数，求该函数表达式 cthx lndx dydx dxdy dydp dydp dxdy dy dp dx dp 双曲正切双曲余弦 双曲正弦其中， 亦可写为： 得通解： 通解为：是任意常数） （其中 是任意常数展开： 【微分：】自变量的改变量等于自变量的微分导数又称“微商”。

dydx dvdu 特别地，是常数 特别地， dxdy dx 证明拐点：在数学上，拐点是指改变曲线向上或者向下方向的点。直观地说，拐点是 使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。若该曲线的图形函数在拐点有二 阶导数，则二阶导数必为零或者不存在驻点：函数的导数为0 的点称为函数的驻点 可导、可微、连续、极限之间的关系？ 左极限、右极限都存在且相等（箭头反方向的话不一定成立） 左导数、右导数都存在且相等连续 极限值等于函数值连续 极限存在且等于函数值极限存在 左极限、右极限都存在且相等在某点处（左、右）极限是否存在与该点处函数是否有定义无关 【第四部分】微分中值定理及导数的应用 （1）费马定理 处取到极值，且f’（x0）存在，则f（x0）=0。（2）罗尔定理 如果函数 f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;在区间端点 处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a